Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối

Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối là một chủ đề thú vị trong toán học. Các bất đẳng thức này thường xuất phát từ các tính chất của giá trị tuyệt đối và được sử dụng để giải bài toán, phân tích khoảng cách, hoặc xử lý các biểu thức phức tạp. Dưới đây là các bất đẳng thức quan trọng và ví dụ minh họa:

Không âm

$|a| \geq 0$ cho mọi số thực $a$ .

Giá trị tuyệt đối luôn “tích cực” hoặc bằng 0, như một người bạn luôn lạc quan! 😎
Ví dụ: $|5| = 5 \geq 0$ , $|-3| = 3 \geq 0$ , $|0| = 0$ .

Giá trị tuyệt đối và số 0: $|a| = 0 \iff a = 0$ .

Chỉ khi $a = 0$ , giá trị tuyệt đối mới bằng 0. Nếu $|a| > 0$ , thì $a \neq 0$ .
Ví dụ: Nếu $|x| = 0$ , thì $x = 0$ . Nếu $|x| = 2$ , thì $x = 2$ hoặc $x = -2$ .

Nếu $|x| = d$ , với $d \geq 0$ , thì $x = d$ hoặc $x = -d$ .

Giá trị tuyệt đối $|x| = d$ nghĩa là $x$ cách số 0 đúng $d$ đơn vị trên trục số. Vì vậy, $x$ có thể ở hai vị trí:
Bên phải: $x = d$ (khoảng cách $d$ từ 0 về phía dương).
Bên trái: $x = -d$ (khoảng cách $d$ từ 0 về phía âm).

Cứ tưởng tượng như bạn đứng ở gốc 0, rồi đi $d$ bước sang phải ( $x = d$ ) hoặc sang trái ( $x = -d$ ), bạn vẫn cách gốc đúng $d$ bước! 🚶‍♂️

Ví dụ:

Nếu $|x| = 3$ , thì $x = 3$ hoặc $x = -3$ .
Kiểm tra: $|3| = 3$ , $|-3| = 3$ . Đúng!
Nếu $|x| = 0$ , thì $x = 0$ (vì chỉ có $x = 0$ thỏa mãn $|x| = 0$ ).
Nếu $|x| = -1$ , thì không có nghiệm, vì giá trị tuyệt đối không bao giờ âm (không có $d = -1$ ).

Lưu ý:

$d$ phải không âm ( $d \geq 0$ ), vì $|x| \geq 0$ .
Nếu gặp phương trình dạng $|x - a| = d$ , thì $x - a = d$ hoặc $x - a = -d$ , dẫn đến $x = a + d$ hoặc $x = a - d$ .

Bất đẳng thức tam giác

Công thức: $|a + b| \leq |a| + |b|$ cho mọi $a, b$ thực.

Nghĩa là giá trị tuyệt đối của tổng hai số không vượt quá tổng giá trị tuyệt đối của chúng. Giống như đi đường tắt () bao giờ cũng nhanh hơn hoặc bằng đi vòng (). Ví dụ: Với , :
- $|3 + (-2)| = |1| = 1$ .
- $|3| + |-2| = 3 + 2 = 5$ .
- Kiểm tra: $1 \leq 5$ , đúng!
  Mở rộng: Với nhiều số, ta có $|a_1 + a_2 + \dots + a_n| \leq |a_1| + |a_2| + \dots + |a_n|$ .

Dạng tổng quát hơn: $|a - b| \geq ||a| - |b||$ .

Đây là bất đẳng thức ngược, cho biết khoảng cách giữa và ít nhất bằng hiệu của giá trị tuyệt đối của chúng. Ví dụ: Với , :
- $|5 - 2| = |3| = 3$ .
- $||5| - |2|| = |5 - 2| = 3$ .
- Kiểm tra: $3 \geq 3$ , đúng!

Bất đẳng thức liên quan đến khoảng cách

Công thức: $|a - b|$ là khoảng cách giữa $a$ và $b$ trên trục số.

Bất đẳng thức này thường được dùng để diễn tả khoảng cách hoặc điều kiện về khoảng cách. Ví dụ: Nếu , nghĩa là cách không quá 2 đơn vị.
- Giải: $-2 < x - 3 < 2$ .
- Cộng 3: $1 < x < 5$ .
- Nghĩa là $x$ nằm trong khoảng $(1, 5)$ , như bạn đứng gần tiệm trà sữa trong bán kính 2 bước! 🧋

Bất đẳng thức với tích và thương

Tích: $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$ .

Giá trị tuyệt đối của tích bằng tích các giá trị tuyệt đối.
Ví dụ: $|2 \cdot (-3)| = |-6| = 6$ , và $|2| \cdot |-3| = 2 \cdot 3 = 6$ .

Thương: $\left| \frac{a}{b} \right| = \frac{|a|}{|b|}$ (với $b \neq 0$ ).
Ví dụ: $\left| \frac{-6}{2} \right| = |-3| = 3$ , và $\frac{|-6|}{|2|} = \frac{6}{2} = 3$ .

Bất đẳng thức: Nếu $|a| \leq k$ , thì $-\frac{k}{|b|} \leq \frac{a}{b} \leq \frac{k}{|b|}$ (với $b \neq 0$ ).
Ví dụ: Nếu $|x| \leq 4$ , thì với $b = 2$ , ta có $-\frac{4}{2} \leq \frac{x}{2} \leq \frac{4}{2}$ , tức $-2 \leq \frac{x}{2} \leq 2$ .

Giải bất đẳng thức giá trị tuyệt đối

Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối thường xuất hiện dưới dạng $|x - a| < b$ , $|x - a| \leq b$ , $|x - a| > b$ , hoặc $|x - a| \geq b$ . Cách giải dựa trên ý nghĩa khoảng cách.

Dạng $|x - a| < b$ :

Nghĩa là $x$ cách $a$ nhỏ hơn $b$ .
Giải: . Ví dụ: .
- Giải: $-3 < x - 2 < 3$ .
- Cộng 2: $-1 < x < 5$ .
- Nghĩa là $x \in (-1, 5)$ .

Dạng $|x - a| > b$ :

Nghĩa là $x$ cách $a$ lớn hơn $b$ .
Giải: hoặc . Ví dụ: .
- Giải: $x - 1 < -2$ hoặc $x - 1 > 2$ .
- Cộng 1: $x < -1$ hoặc $x > 3$ .
- Nghĩa là $x \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$ .

Bất đẳng thức dạng tổng quát

Dạng $|ax + b| \leq c$ :

Giải: . Ví dụ: .
- Giải: $-5 \leq 2x + 3 \leq 5$ .
- Trừ 3: $-8 \leq 2x \leq 2$ .
- Chia 2: $-4 \leq x \leq 1$ .
- Nghĩa là $x \in [-4, 1]$ .

Dạng $|ax + b| > c$ :

Giải: hoặc . Ví dụ: .
- Giải: $3x - 4 < -7$ hoặc $3x - 4 > 7$ .
- Cộng 4: $3x < -3$ hoặc $3x > 11$ .
- Chia 3: $x < -1$ hoặc $x > \frac{11}{3}$ .
- Nghĩa là $x \in (-\infty, -1) \cup \left( \frac{11}{3}, \infty \right)$ .

Ứng dụng vui:

Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối hay được dùng để mô tả “vùng an toàn” (như bạn đứng gần tiệm trà sữa trong bán kính 2km) hoặc “vùng nguy hiểm” (như tránh xa khu vực nào đó quá 5km). 🚶‍♂️
Trong thực tế, nó còn xuất hiện trong lập trình, xử lý sai số, hoặc đo khoảng cách trong không gian.