Ví dụ về ma trận Hesse (Hessian matrix)

Spread the love

ma trận Hessian (Hessian matrix) là ma trận chứa tất cả các đạo hàm bậc hai của một hàm số đa biến.

Cho hàm số thực $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ có đạo hàm bậc hai liên tục, ma trận Hessian của $f$ tại điểm $\mathbf{x} = (x_1, x_2, …, x_n)$ là ma trận vuông kích thước $n \times n$ như sau:
$H_f(\mathbf{x}) =\begin{bmatrix}\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \\\frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}\end{bmatrix}$

Ví dụ minh họa

Xét hàm số hai biến: $f(x,y) = x^3 y + 2xy^2 + y^3$
Bước 1: Tính các đạo hàm bậc nhất: $\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 y + 2 y^2$ $\frac{\partial f}{\partial y} = x^3 + 4xy + 3y^2$
Bước 2: Tính các đạo hàm bậc hai:

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (3x^2 y + 2 y^2) = 6xy + 0 = 6xy$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} (x^3 + 4xy + 3y^2) = 0 + 4x + 6y = 4x + 6y$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (3x^2 y + 2 y^2) = 3x^2 + 4y$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^3 + 4xy + 3y^2) = 3x^2 + 4y$

Vậy ma trận Hessian là:

$H_f(x,y) =\begin{bmatrix}6xy & 3x^2 + 4y \\3x^2 + 4y & 4x + 6y\end{bmatrix}$

Ví dụ 2:

Xét hàm số: $f(x, y) = x^2 - 4xy + y^2$

Bước 1: Tính đạo hàm riêng bậc nhất
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x - 4y$

$\frac{\partial f}{\partial y} = -4x + 2y$

Bước 2: Tính các đạo hàm riêng bậc hai
$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2\quad ; \quad\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = -4$

Ma trận Hessian:
$H_f(x, y) =\begin{bmatrix}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 & -4 \\-4 & 2\end{bmatrix}$

Discover more from Cùng Học Cùng Mơ

Subscribe to get the latest posts sent to your email.

Ví dụ về ma trận Hesse (Hessian matrix)

Like this:

Related

Discover more from Cùng Học Cùng Mơ

Leave a Reply Cancel reply