Hãy tưởng tượng bạn đang tổ chức một bữa tiệc số học, và các “khoảng” này là những quy tắc mời khách vào bữa tiệc của bạn! Mỗi loại khoảng sẽ có cách “mở cửa” và “đóng cửa” khác nhau, quyết định ai được vào tiệc và ai phải đứng ngoài.
1. Khoảng mở: (a, b) – Cửa mở toang, nhưng không mời hai ông đầu cuối!
Hãy tưởng tượng bạn tổ chức tiệc tại một con đường dài từ số a đến số b. Bạn treo biển: “Mời tất cả các số nằm giữa a và b, nhưng chính a và b thì… xin lỗi, đứng ngoài nhé!”
- Ví dụ: Khoảng mở (1, 3) là tiệc dành cho các số như 1.0001, 2, 2.9999… nhưng số 1 và 3 không được mời, vì chúng đứng ngay “cửa”!
Toán học chi tiết:
- Khoảng mở (a, b) bao gồm tất cả các số thực x sao cho a < x < b.
- Công thức: {x ∈ ℝ | a < x < b}.
Đặc điểm: Không bao gồm hai điểm đầu mút a và b (gọi là biên).
Ví dụ: (1, 3) = {x | 1 < x < 3}. Số 1.5, 2, 2.99 thuộc khoảng này, nhưng 1 và 3 thì không.
Trên trục số: Vẽ hai dấu ngoặc tròn tại a và b (nghĩa là không tô đậm điểm a và b), nối chúng bằng một đoạn thẳng.
Tính chất: - Khoảng mở không có điểm đầu và cuối chính xác, nên nó “mở” ở cả hai đầu.
- Trong không gian số thực, khoảng mở luôn chứa vô số điểm (vì giữa hai số thực bất kỳ luôn có vô số số thực khác). Khoảng mở giống như một bữa tiệc tự do, ai đứng giữa sàn nhảy thì được nhảy, còn hai người đứng ở cửa (a và b) thì bị bảo vệ chặn lại!
2. Khoảng đóng: [a, b] – Cửa đóng chặt, mời cả hai ông đầu cuối!
Hãy hình dung bây giờ bạn tổ chức tiệc kín, treo biển: “Tất cả các số từ a đến b, kể cả chính a và b, đều được vào!” Cửa đóng chặt, không ai bị bỏ rơi, kể cả hai “khách VIP” a và b.
- Ví dụ: Khoảng đóng [1, 3] mời tất cả các số từ 1 đến 3, bao gồm cả 1 và 3.
Toán học chi tiết:
- Khoảng đóng [a, b] bao gồm tất cả các số thực x sao cho a ≤ x ≤ b.
- Công thức: {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b}.
Đặc điểm: Bao gồm cả hai điểm đầu mút a và b.
Ví dụ: [1, 3] = {x | 1 ≤ x ≤ 3}. Số 1, 1.5, 2, 2.99, và 3 đều thuộc khoảng này.
Trên trục số: Vẽ hai dấu ngoặc vuông tại a và b (nghĩa là tô đậm điểm a và b), nối chúng bằng một đoạn thẳng.
Tính chất: - Khoảng đóng là tập hợp “đầy đủ” hơn khoảng mở vì nó bao gồm cả biên.
- Trong không gian liên tục như số thực, khoảng đóng là tập compact (hữu hạn và đóng kín).
Khoảng đóng giống như một bữa tiệc VIP, nơi cả hai ông chủ nhà a và b cũng được vào, không ai bị bỏ rơi!
3. Khoảng nửa đóng (hoặc nửa mở): [a, b) hoặc (a, b] – Một cửa mở, một cửa đóng!
Hãy hình dung đây là kiểu tiệc “nửa nạc nửa mỡ”. Bạn quyết định: “Một ông ở cửa được vào, ông kia đứng ngoài!”
- Với [a, b): Số a được mời, nhưng số b thì không. Với (a, b] thì ngược lại: b được vào, còn a đứng ngoài.
- Ví dụ: [1, 3) mời số 1, 1.5, 2, 2.999… nhưng số 3 bị chặn ở cửa. Tương tự, (1, 3] mời 1.001, 2, 3, nhưng 1 không được vào.
Toán học chi tiết:
- Khoảng [a, b) bao gồm tất cả các số thực x sao cho a ≤ x < b.
- Công thức: {x ∈ ℝ | a ≤ x < b}.
- Ví dụ: [1, 3) = {x | 1 ≤ x < 3}. Số 1, 1.5, 2.99 thuộc, nhưng 3 không thuộc.
- Khoảng (a, b] bao gồm tất cả các số thực x sao cho a < x ≤ b.
- Công thức: {x ∈ ℝ | a < x ≤ b}.
- Ví dụ: (1, 3] = {x | 1 < x ≤ 3}. Số 1.001, 2, 3 thuộc, nhưng 1 không thuộc.
Trên trục số:
[a, b): Tô đậm điểm a (dấu ngoặc vuông), để trống điểm b (dấu ngoặc tròn).
(a, b]: Để trống điểm a (dấu ngoặc tròn), tô đậm điểm b (dấu ngoặc vuông).
Tính chất: - Đây là trạng thái “nửa kín nửa hở”, nên không hoàn toàn compact như khoảng đóng, cũng không hoàn toàn “mở” như khoảng mở. Khoảng nửa đóng giống như bạn tổ chức tiệc nhưng chỉ cho một ông chủ nhà vào, còn ông kia phải đứng ngoài ngó. Quyết định ai vào ai ra tùy thuộc vào tâm trạng của bạn!
4. So sánh và ứng dụng thực tế
tổng kết:
- Khoảng mở (a, b): Tiệc tự do, không ai đứng ở cửa được vào.
- Khoảng đóng [a, b]: Tiệc kín, tất cả đều được mời, kể cả hai ông ở cửa.
- Khoảng nửa đóng [a, b) hoặc (a, b]: Tiệc “chọn lọc”, một ông ở cửa được vào, ông kia ra rìa.
Ứng dụng:
Nếu bạn chia kẹo từ 1 đến 3 viên thì:
- [1, 3] nghĩa là bạn cho cả 1, 2, 3 viên;
- (1, 3) nghĩa là chỉ cho số kẹo giữa 1 và 3 (như 1.5, 2 viên);
- [1, 3) thì cho 1, 2 viên nhưng không cho đúng 3 viên.
Ví dụ minh họa cụ thể:
- Cho hàm
trên [0, 2], (0, 2), và [0, 2): - Trên [0, 2]: Giá trị của hàm chạy từ
đến 
, bao gồm cả 0 và 4. - Trên (0, 2): Giá trị chạy từ
đến 
, nhưng không chạm đúng 0 và 4. - Trên [0, 2): Bao gồm , nhưng không chạm đúng .
Kết luận:
Các khoảng này giống như cách bạn tổ chức tiệc: muốn “đóng” để mời cả khách VIP, muốn “mở” để thoải mái, hay “nửa nọ nửa kia” để chọn lọc.