Skip to content

9. định lý kẹp

📌 Nội dung định lý kẹp

Giả sử ta có ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên một khoảng chứa điểm a (trừ có thể tại a), và thỏa mãn:

    \[ f(x) \leq g(x) \leq h(x) \quad \forall x\]

gần

    \[a\]

Nếu:

    \[ \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L\]

thì:

    \[ \lim_{x \to a} g(x) = L\]

🔹 Ý nghĩa

  • Nếu một hàm g(x) bị “kẹp” giữa hai hàm f(x) và h(x), và cả hai hàm này đều có cùng giới hạn tại điểm a, thì hàm g(x) cũng có giới hạn bằng giá trị đó.
  • Đây là công cụ rất mạnh để chứng minh giới hạn của những hàm khó tính trực tiếp.

📊 Ví dụ kinh điển

    \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\]

  • Ta biết: \sin x \leq x \leq \tan x khi x > 0 gần 0.
  • Chia cả ba vế cho x:

        \[ \cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1\]

  • Khi x \to 0: \cos x \to 1.
    👉 Vậy theo định lý kẹp:

        \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\]

✨ Tóm lại

  • Định lý kẹp giúp ta chứng minh giới hạn bằng cách so sánh với hai hàm khác.
  • Rất hữu ích cho các giới hạn đặc biệt, đặc biệt trong lượng giác.

Ví dụ:

    \[ \lim_{x \to 0} x^2 \cos\left(\frac{1}{x}\right)\]

🔹 Bước 1: Xét hàm số

  • Ta biết -1 \leq \cos\left(\frac{1}{x}\right) \leq 1.

🔹 Bước 2: Nhân với x^2

    \[ - x^2 \leq x^2 \cos\left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2\]

🔹 Bước 3: Tính giới hạn hai hàm biên

  • \lim_{x \to 0} (-x^2) = 0
  • \lim_{x \to 0} (x^2) = 0

🔹 Bước 4: Áp dụng định lý kẹp

Vì x^2 \cos\left(\frac{1}{x}\right) bị kẹp giữa -x^2 và x^2, và cả hai đều có giới hạn bằng 0 khi x \to 0, nên:

    \[ \lim_{x \to 0} x^2 \cos\left(\frac{1}{x}\right) = 0\]

✨ Kết quả

    \[ \lim_{x \to 0} x^2 \cos\left(\frac{1}{x}\right) = 0\]

Leave a Reply

error: Content is protected !!