Giới hạn của dãy số - Cùng Học Cùng Mơ

Ngày xửa ngày xưa, có một dãy số (sequence) : $a_1, a_2, a_3, a_4, …, a_n,…$

Dãy số này giống như một nhóm bạn trẻ thích đi du lịch vô tận, mỗi người đi một đoạn, nhưng tất cả cùng hướng về một điểm đến bí ẩn, gọi là giới hạn!

🧭 Giới hạn là gì?

Giới hạn giống như đích đến cuối cùng của dãy số — mặc dù họ không bao giờ chạm tới, nhưng càng đi thì càng đến gần!

Ví dụ:

Dãy số: 1, 1.5, 1.75, 1.875, 1.9375, …
Càng đi thì càng gần tới số 2. Vậy 2 là giới hạn!

Giới hạn của một dãy số là khái niệm mô tả xu hướng của các số trong dãy khi chỉ số tiến đến vô cùng. Đây là một khái niệm cơ bản trong giải tích và được định nghĩa như sau:

📘 Định nghĩa

Cho một dãy số $(a_n)$ , nếu tồn tại một số thực $L$ sao cho:

Với mọi $\varepsilon > 0$ , tồn tại một số $N \in \mathbb{N}$ sao cho với mọi $n \geq N$ , ta có:
$|a_n - L| < \varepsilon$

thì ta nói dãy $(a_n)$ hội tụ về $L$ , và $L$ là giới hạn của dãy số đó. Ký hiệu:

$\lim_{n \to \infty} a_n = L$

🧠 Hiểu đơn giản

Giới hạn là giá trị mà các số trong dãy tiến tới càng gần, khi số thứ tự trong dãy càng lớn. Dù dãy có thể không “chạm” vào giá trị đó, nó sẽ ngày càng tiến gần.

🧠 Cách hiểu vui:

Dãy số giống như những học sinh đang chạy tới thầy giáo (giới hạn).

Dãy có giới hạn
➤ Như tụi nhỏ ngoan ngoãn dần, chạy một hồi rồi đứng gần thầy giáo.
Dãy không có giới hạn
➤ Như đám trẻ chạy mãi không biết về đâu, cứ mỗi đứa một hướng, chẳng ai biết “ai là giáo viên nữa” 😂
Dãy tiến ra vô cực
➤ Như học sinh chạy thẳng ra cổng trường, rời khỏi lớp luôn! (Dãy tiến tới +∞ hoặc -∞)

🧪 Ví dụ 1: Dãy chia đôi bánh pizza

Bạn đang rất đói, có 1 cái bánh pizza. Nhưng mỗi lần bạn chuẩn bị ăn hết, bạn lại tiếc, chỉ ăn một nửa chỗ còn lại.

Lần 1: Ăn 1/2 chiếc thì còn 1/2 chiếc
Lần 2: Ăn thêm một nửa của phần còn lại (1/4) chiếc thì còn 1/4 chiếc
Lần 3: Ăn thêm một nửa của phần còn lại (1/8) chiếc thì còn 1/8 chiếc
…
Điều này tạo nên dãy:

$a_n = \frac{1}{2^n}, n = 1, 2, 3, …$

👉 Mỗi lần gần như ăn hết, nhưng luôn còn một tí. Và sau 1 tỷ lần thì bạn gần như đã ăn hết chiếc pizza, nhưng vẫn chưa thật sự ăn hết.

🧠 Kết luận:

$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$

🐢 Ví dụ 2: Dãy con rùa bò tới bia

Dãy:

$a_n = \frac{1}{n}$

📖 Câu chuyện:
Một chú rùa đang bò tới… quán bia 😄

Ngày đầu bò được 1 mét
Ngày thứ 2 bò thêm 1/2 mét
Ngày thứ 3 bò thêm 1/3 mét
Ngày thứ n bò thêm $\frac{1}{n}$ mét

👉 Dù rất chăm chỉ, nhưng mỗi ngày rùa bò chậm hơn hôm trước. Cuối cùng thì… gần như đứng yên.

🧠 Kết luận:

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

(Chú rùa cuối cùng gần như không di chuyển nữa)

🌀 Ví dụ 3: Dãy tâm trạng thất thường

Dãy:
$a_n = (-1)^n$

(Nghĩa là: -1, 1, -1, 1, -1, 1,…)

📖 Câu chuyện:
Bạn có một người bạn tên là… “Tâm”.

Hôm nay vui (1), mai buồn (-1), ngày mốt vui (1), hôm sau lại buồn (-1)
Cứ lặp đi lặp lại, không có ngày nào ổn định cả 😵‍💫

👉 Người như vậy, bạn bảo “điểm đến” là gì? Không biết luôn!

🧠 Kết luận:
Dãy không có giới hạn! Vì nó cứ nhảy lung tung, không tiến tới đâu cả.