Skip to content

Không gian vectơ và ví dụ

Không gian vectơ (vector space), còn gọi là không gian tuyến tính, là một khái niệm cơ bản trong toán học, đặc biệt là đại số tuyến tính. Nó là một tập hợp các đối tượng gọi là vectơ, cùng với hai phép toán: cộng vectơ và nhân vô hướng, thỏa mãn một số quy tắc nhất định.

Định nghĩa chính thức:

Một không gian vectơ V trên một trường F (ví dụ như tập số thực \mathbb{R} hoặc số phức \mathbb{C}) là một tập hợp được trang bị hai phép toán:

  1. Cộng vectơ: Kết hợp hai vectơ \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V để tạo ra một vectơ mới \mathbf{u} + \mathbf{v} \in V.
  2. Nhân vô hướng: Nhân một số vô hướng c \in F với một vectơ \mathbf{v} \in V để tạo ra vectơ mới c\mathbf{v} \in V.

Cụ thể hơn là phải thỏa mãn các tiên đề (axiom) sau:

Các tiên đề của không gian vectơ:

  1. Tính đóng:
  • Nếu \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V thì \mathbf{u} + \mathbf{v} \in V.
  • Nếu c \in F và \mathbf{v} \in V thì c\mathbf{v} \in V.
  1. Tính kết hợp của phép cộng:
    (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}).
  2. Tính giao hoán của phép cộng:
    \mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}.
  3. Vectơ không:
    Tồn tại một vectơ \mathbf{0} \in V sao cho \mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v} với mọi \mathbf{v} \in V.
  4. Vectơ đối:
    Với mỗi \mathbf{v} \in V, tồn tại -\mathbf{v} \in V sao cho
    \mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0}.
  5. Tính phân phối:
  • c(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = c\mathbf{u} + c\mathbf{v}.
  • (c + d)\mathbf{v} = c\mathbf{v} + d\mathbf{v}.
  1. Tính kết hợp của phép nhân vô hướng:
    c(d\mathbf{v}) = (cd)\mathbf{v}.
  2. Phần tử đơn vị của phép nhân vô hướng:
    1\mathbf{v} = \mathbf{v}, với 1 là phần tử đơn vị của trường F.

Ví dụ về không gian vectơ:

  1. Không gian tọa độ thực:
  • \mathbb{R}^n (tập các bộ n số thực) là một không gian vectơ trên \mathbb{R}.
  1. Đa thức:
  • Tập tất cả các đa thức có hệ số thực là một không gian vectơ.
  1. Ma trận:
  • Tập các ma trận kích thước m \times n là một không gian vectơ.
  1. Hàm số:
  • Tập các hàm số giá trị thực là một không gian vectơ.

Kiểm tra: Không gian tọa độ thực \mathbb{R}^n là một không gian vectơ

1. Mô tả \mathbb{R}^n

( \mathbb{R}^n\) là tập hợp tất cả các bộ n số thực:

    \[ \mathbf{v} = (v_1, v_2, \dots, v_n), \quad v_i \in \mathbb{R}\]

Phép cộng vectơ:

    \[ (u_1, \dots, u_n) + (v_1, \dots, v_n) = (u_1+v_1, \dots, u_n+v_n)\]

Phép nhân vô hướng:

    \[ c(v_1, \dots, v_n) = (cv_1, \dots, cv_n)\]

2. Kiểm tra các tiên đề của không gian vectơ

(1) Đóng với phép cộng

Tổng của hai vectơ trong \mathbb{R}^n vẫn là một vectơ trong \mathbb{R}^n. ✔️

(2) Đóng với phép nhân vô hướng

Nhân một vectơ trong \mathbb{R}^n với một số thực vẫn cho ra vectơ trong \mathbb{R}^n. ✔️

(3) Tính kết hợp của phép cộng

    \[ (\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w} = \mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})\]


Do phép cộng trong \mathbb{R} có tính kết hợp. ✔️

(4) Tính giao hoán của phép cộng

    \[ \mathbf{u}+\mathbf{v} = \mathbf{v}+\mathbf{u}\]


Do phép cộng trong \mathbb{R} giao hoán. ✔️

(5) Phần tử không (vectơ không)

Vectơ

    \[ \mathbf{0} = (0,0,\dots,0)\]


thỏa mãn \mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v}. ✔️

(6) Phần tử đối

Với mỗi vectơ \mathbf{v} = (v_1,\dots,v_n), tồn tại

    \[ -\mathbf{v} = (-v_1,\dots,-v_n)\]


sao cho \mathbf{v}+(-\mathbf{v})=\mathbf{0}. ✔️

(7) Tính phân phối

    \[ c(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = c\mathbf{u}+c\mathbf{v}\]


    \[ (c+d)\mathbf{v} = c\mathbf{v}+d\mathbf{v}\]


Do tính chất phân phối trong \mathbb{R}. ✔️

(8) Tính kết hợp của phép nhân vô hướng

    \[ c(d\mathbf{v}) = (cd)\mathbf{v}\]


✔️

(9) Phần tử đơn vị của phép nhân vô hướng

    \[ 1\mathbf{v} = \mathbf{v}\]


✔️

Kết luận

Vì \mathbb{R}^n thỏa mãn tất cả các tiên đề của không gian vectơ, nên:

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\[ \boxed{\mathbb{R}^n\]

*** Error message:
File ended while scanning use of \boxed.
Emergency stop.
là một không gian vectơ trên

    \[\mathbb{R}}\]

theo

What is a vector space and examples

Leave a Reply

error: Content is protected !!