Quy trình trực giao hoá Gram–Schmidt là một phương pháp dùng để biến một tập các vectơ độc lập tuyến tính thành một tập vectơ trực giao (vuông góc với nhau). Phương pháp này thường được dùng để tạo cơ sở trực chuẩn (vừa trực giao vừa có độ dài bằng 1).
Các bước của quy trình Gram–Schmidt
Giả sử ta có tập vectơ
[ {v_1, v_2, dots, v_n}]
Bước 1. Khởi tạo vectơ trực giao đầu tiên:
[ u_1 = v_1]
Bước 2. Với mỗi vectơ tiếp theo ( (v_k, k = 2, 3, dots, n )):
Ta trừ đi hình chiếu của ( (v_k) ) lên các vectơ ( (u_i) ) đã có trước đó:
[ u_k = v_k – sum_{i=1}^{k-1} text{proj}_{u_i}(v_k)]
Trong đó, phép chiếu của ( v_k ) lên ( u_i ) được xác định bởi:
[ text{proj}_{u_i}(v_k) = frac{langle v_k, u_i rangle}{langle u_i, u_i rangle} u_i]
Ký hiệu ( langle cdot, cdot rangle ) là tích vô hướng (dot product).
👉 Cách làm này đảm bảo (u_k) trực giao với tất cả các vectơ
(u_1, u_2, dots, u_{k-1} ).
Bước 3. (Tuỳ chọn) Chuẩn hoá các vectơ để được cơ sở trực chuẩn:
[ e_k = frac{u_k}{|u_k|}]
Trong đó:
[ |u_k| = sqrt{langle u_k, u_k rangle}]
là độ dài (chuẩn) của vectơ (u_k).
Ví dụ minh hoạ
Cho hai vectơ trong ( mathbb{R}^2 ):
[ v_1 = (1,1), quad v_2 = (1,0)]
Bước 1.
[ u_1 = v_1 = (1,1)]
Bước 2.
[ u_2 = v_2 – text{proj}_{u_1}(v_2)]
Tính hình chiếu:
[ langle v_2, u_1 rangle = 1cdot1 + 0cdot1 = 1]
[ langle u_1, u_1 rangle = 1^2 + 1^2 = 2]
[ text{proj}_{u_1}(v_2) = frac{1}{2}(1,1) = left(frac{1}{2}, frac{1}{2}right)]
Trừ hình chiếu:
[ u_2 = (1,0) – left(frac{1}{2}, frac{1}{2}right) = left(frac{1}{2}, -frac{1}{2}right)]
Bước 3. Chuẩn hoá
[ e_1 = frac{u_1}{|u_1|} = frac{(1,1)}{sqrt{2}} = left(frac{1}{sqrt{2}}, frac{1}{sqrt{2}}right)]
[ e_2 = frac{u_2}{|u_2|} = left(frac{1}{sqrt{2}}, -frac{1}{sqrt{2}}right)]
✅ Cơ sở trực chuẩn thu được:
[ left{
left(frac{1}{sqrt{2}}, frac{1}{sqrt{2}}right),
left(frac{1}{sqrt{2}}, -frac{1}{sqrt{2}}right)
right}]