10. hàm liên tục

📌 Định nghĩa hàm liên tục tại một điểm

Hàm số được gọi là liên tục tại điểm nếu thỏa mãn 3 điều kiện:

1. xác định (tồn tại giá trị tại ).
2. tồn tại.
3. .

👉 Nói cách khác: giá trị của hàm tại điểm đó bằng với giới hạn khi tiến tới điểm đó.

📌 Ý nghĩa trực quan

• Đồ thị của hàm số liên tục không bị đứt đoạn, không nhảy cóc, không có lỗ hổng.
• Khi vẽ, ta có thể “vẽ một nét bút liền” mà không cần nhấc bút.

📊 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Hàm liên tục

   

• Với mọi :
  .
  👉 Hàm liên tục trên toàn bộ .

Ví dụ 2: Hàm không liên tục

   

• Tại , hàm không xác định.
  👉 Hàm này không liên tục tại , nhưng liên tục trên .

📌 Các loại gián đoạn thường gặp

Gián đoạn kiểu 1 (nhảy cóc): giới hạn trái và phải tồn tại nhưng khác nhau.
Gián đoạn kiểu 2: giới hạn không tồn tại.
Gián đoạn kiểu 3: hàm không xác định tại điểm đó.

📊 Ví dụ: Hàm liên tục

   

• Miền xác định: .
• Miền giá trị: .
• Đồ thị: đường cong parabol đi qua gốc tọa độ, trơn tru, không bị đứt đoạn.
  👉 Khi vẽ, bạn có thể kéo một nét bút liền từ trái sang phải.

📊 Ví dụ: Hàm gián đoạn

   

• Miền xác định: .
• Miền giá trị: .
• Đồ thị: hai nhánh hyperbol, một ở góc phần tư I và một ở góc phần tư III.
  👉 Tại , hàm không xác định → đồ thị bị “đứt” bởi một đường tiệm cận đứng.

✨ Ý nghĩa trực quan

• Hàm liên tục: đồ thị không nhảy cóc, không lỗ hổng.
• Hàm gián đoạn: đồ thị bị đứt đoạn hoặc nhảy vọt tại một số điểm.